# 伽马函数是什么

阶层函数是离散的，$x!=\prod\limits_{i=1}^{n}i$，定义域仅为正整数

为了将阶层一般化，推广到实数域，用一条曲线把阶层的散点连起来

# 伽马函数

$$\Gamma(z) = \int_{0}^{\infty} x^{z-1} · e^{-x}~dx$$

$$\Gamma(z+1)=\int_{0}^{\infty}x^z · e^{-x}~dx$$

# 伽马函数的性质

• 对 $z>1$，有 $\Gamma(z)=(z-1) · \Gamma(z-1)$
  • $\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}x^{z-1} · e^{-x}~dx= {[x^{z-1} · (-e^{-x})]}^{x=\infty}_{x=0}+(z-1)\int_{0}^{\infty}x^{z-2} · e^{-x}~dx$
  • 即为 $F(z)=(z-1)·F(z-1)$
• 对 $n \in N^{*},\Gamma(n-1)=(n-1)!$
  • $\Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1)=(n-1)(n-2)\Gamma(n-2)=...=(n-1)·(n-2)·...·3·2·1·\Gamma(1)$
  • $\Gamma(1)=\int_{0}^{\infty}e^{-x}~dx=1$
  • 故 $\Gamma(n)=(n-1)!$

# 伽马分布概率密度 = 1 的证明

$$\int_0^\infty \frac{\lambda^{z}·x^{z-1}·e^{-\lambda x}}{\Gamma(z)}dx=\frac{\lambda^{z}}{\Gamma(z)}·\int_0^\infty x^{z-1}·e^{-x}~dx=\frac{\lambda^{z}}{\Gamma(z)}·\frac{\Gamma(z)}{\lambda^{z}}=1$$

• $\int_0^\infty x^{z-1}·e^{-x}~dx=\frac{\Gamma(z)}{\lambda^{z}}$ 证明如下：
  • 令 $\lambda x = y$，则有 $x = \frac{y}{\lambda}, \lambda dx = dy$
  • 则 $\int_0^{\infty}x^{z-1}·e^{-\lambda x}dx=\int_0^{\infty}{(\frac{y}{\lambda})}^{z-1}·e^{-y}·\frac{1}{\lambda} dy$
  • $=\int_0^{\infty}\frac{1}{\lambda^z}·y^{z-1}·e^{-y} dy=\frac{1}{\lambda^z}\Gamma(z)$

# 伽马分布的理解

伽马分布一般与指数分布结合理解

# 从意义上看

指数分布解决的是要等到一个随机事件发生，需要经过多少时间，伽马分布可以看作是 $n$ 个指数分布的独立随机变量的加总

# 从公式上看

$X\sim\Gamma(n,\lambda)$

$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{\lambda^{a} x^{a-1} e^{-\lambda x}}{\Gamma(a)}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$$

• 期望：E(X)=\frac{n}
• 方差：Var(x)=\frac{n}

当 $n=1$ 时，则变成了指数分布

$$f_X(x) = \left\{ \begin{array}{ll} \lambda e^{-\lambda x}, & x > 0 \\ 0, & \text{其他} \end{array} \right.$$

• 指数分布的期望：E(X)=\frac{1}
• 指数分布的方差：Var(X)=\frac{1}