首页 程序设计 图与树 最小生成树

# 背景

给定一个 nn 个点 mm 条边的无向图，图中可能存在重边和自环，边权可能为负数
求最小生成树的树边权重之和，如果最小生成树不存在则输出 impossible

最小生成树
给定一张边带权的无向图 G=(V,E)G=(V,E)，其中 VV 表示图中点的集合，EE 表示图中边的集合，n=∣V∣n=|V|，m=∣E∣m=|E|
由 VV 中的全部 nn 个顶点和 EE 中的 n−1n-1 条边构成的无向连通子图被称为 GG 的一棵生成树，其中边的权值之和最小的生成树被称为无向图 GG 的最小生成树

# 数据范围

  • 1≤n≤5001 \le n \le 500
  • 1≤m≤1051 \le m \le 10^5

# 思路

PrimPrim 算法用于解决稀疏图的最小生成树，与 DijkstraDijkstra 算法十分相似
进行 nn 次循环，每次找出 == 不在 “集合”== 内的，距离集合距离最小的点

  • 如果这个点不为第一个点，并且此点的距离到 “集合” 不为 0x3f3f3f3f （初始化 d[] 为 0x3f3f3f3f ），则 res += d[t]
  • 如果这个点 d[t] == 0x3f3f3f3f ，则证明此点无法抵达集合，即无法生成最小生成树

注意：应先累加 res 再更新其他点的距离 d[t]

  • 可能存在负环，但最小生成树不该有负环

C++
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int prim() {
    int res = 0;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        int t = -1;

        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!st[j] && (t == -1 || d[j] < d[t]))
                t = j;
                
        if (i != 1 && d[t] == 0x3f3f3f3f)
            return 0x3f3f3f3f;
        
        if (i != 1)
            res += d[t];
        st[t] = 1;

        for (int j = 1; j <= n; j++)
            d[j] = min(d[j], g[t][j]);
    }
    
    return res;
}

void solve () {
    memset(g, 0x3f, sizeof g), memset(d, 0x3f, sizeof d);
    
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1, a, b, c; i <= m; i++) {
        cin >> a >> b >> c;
        g[a][b] = g[b][a] = min(g[a][b], c);
    }

    int res = prim();

    if (res == 0x3f3f3f3f)
        cout << "impossible\n";
    else
        cout << res << endl;
}

与 DijsktraDijsktra 的区别便在于这：

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for (int j = 1; j <= n; j++)
    d[j] = min(d[j], g[t][j]);

  • DijstraDijstra 是存第 ii 点到源点的最小距离 d[j] = min(d[j], d[t] + g[t][j])
  • 由于此时 tt 点已经在集合里，所以 primeprime 是存第 ii 点到集合的最小距离 d[j] = min(d[j], g[t][j])